Rumus dan Pola Barisan Aritmatika

Pengertian barisan aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang selisih dua suku berurutan adalah selalu tetap. Missal suatu barisan U₁, U₂, U₃, …, U_n-1, U_n adalah barisan aritmetika,jika dipenuhi : U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = … = U_n – U_n-1 = b
Selisih yang tetap itu disebut beda (b) dari barisan aritmetika.

B = U_n – U_n-1

untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh :
Diantara barisan-barisan bilangan berikut, tentukan manakah yang merupakan barisan aritmetika !
1. 1, 4, 7, 10, …
Jawab :
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.

Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 1, 4, 7, 10, … adalah :
U₂ – U₁ = 4 – 1 = 3
U₃ – U₂ = 7 – 4 = 3
U₄ – U₃ = 10 – 7 = 3
Beda dari setiap barisan ini tetap sehingga barisan 1, 4, 7, 10, … adalah barisan aritmetika.

2. 3, 6, 12, 24, …
Jawab :
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.
Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 3, 6, 12, 24, … adalah :
U₂ – U₁ = 6 – 3 = 3
U₃ – U₂ = 12 – 6 = 6
U₄ – U₃ = 24 – 12 = 12
Beda dari barisan ini tidak tetap sehingga barisan 3, 6, 12, 24, … bukan barisan aritmetika.

3. 44, 41, 38, 35, …
Jawab :
Untuk menentukan apakah suatu barisan termasuk barisan aritmetika atau bukan, hal yang harus diperhatikan adalah beda dari setiap dua suku berurutan dalam barisan tersebut. Jika bedanya tetap, maka barisan tersebut merupakan barisan aritmetika.
Beda antara dua suku yang berurutan dari barisan 44, 41, 38, 35, … adalah :
U₂ – U₁ = 41 – 44 = -3
U₃ – U₂ = 38 – 41 = -3
U₄ – U₃ = 35 – 38 = -3
Beda dari setiap barisan ini tetap sehingga barisan 44, 41, 38, 35, … adalah barisan aritmetika.

rumus umum barisan aritmetika

U_n = U_n-1 + b = a + (n – 1)b
Berdasarkan pola dari suku-suku pada barisan diatas, dapat ditentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika sebagai berikut.
Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika.
Misalkan terdapat suatu barisan aritmetika U₁, U₂, …, U_n, maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertama (a) dan beda (b) adalah :

U_n = a + (n – 1)b

Contoh :
1. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan 6, 10, 14, 18, …!

Jawab :
Barisan : , 10, 14, 18, …
Suku pertama = a = 6
Beda = b = 10 – 6 = 4
Rumus suku ke-n :
U_n = a + (n – 1)b
U_n = 6 + (n – 1)4
U_n = 6 + 4n – 4
U_n = 4n + 2
Suku ke-10 :
U_n = 4n + 2
U₁₀ = 4(10) + 2 = 40 + 2 = 42
Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = 4n + 2 dan nilai suku ke-10 adalah 42.

2. Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 36.

• Tentukan beda pada barisan tersebut !

Jawab :
Suku pertama = a = 6
Suku ketujuh = U₇ = 36
Menentukan beda :
U_n = a + (n – 1)b, maka
U₇ = 6 + (7 – 1)b
36 = 6 + 6b
6b = 36 – 6
6b = 30
b = 30 : 6
b = 5
jadi, beda pada barisan tersebut adalah 5.

• Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut !

Jawab :
Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut :
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, …

Rumus suku ke-n barisan aritmetika

Jika anda diminta menentukan suku ke-100 dari barisan bilangan asli, tentu saja anda dengan mudahnya dapat menjawab pertanyaan tersebut. Akan tetapi, bila anda diminta menentukan suku ke-100 dari barisan bilangan genap, anda akan menemui kesulitan bila diminta menjawab secara spontan dan tidaklah mungkin jika anda harus mencarinya dengan mengurutkan satu per satu dari suku awal sampai suku yang dinyatakan.
Untuk itulah diperlukan suatu aturan untuk menentukan suku-suku yang dicari, supaya dapat menentukan suku tertentu dari suatu barisan aritmetika. untuk itu, pelajarilah penurunan rumus suku ke-n berikut dengan baik.
Misalkan U₁, U_2, U₃, …, U_n adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b, maka dapat ditulis :
U₁ = a
U₂ = U₁ + b = a + b
U₃ = U₂ + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 – 1)b
U₄ = U₃ + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 – 1)b
U_n = U_n-1 + b = a + (n – 1)b

Share this post