Barisan dan Deret Aritmatika Matematika SMP Kelas 9

Deret aritmetika

Jika suku-suku dari suatu barisan aritmetika, maka akan terbentuk deret aritmetika. Nama lain deret aritmetika adalah deret hitung atau deret tambah.
Bentuk umum : a + ( a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b)
Jika suatu deret, bentuk umum suku-sukunya ditentukan sebagai fungsi linear U_n = pn + q, maka deret itu adalah deret aritmetika.
Rumus :

S_n = n/2 (a + U_n)

U_n = S_n – S_{n – 1}

S_n = n/2 (2a + (n – 1)b)

Keterangan :
S_n = jumlah n suku yang pertama
a = suku awal
U_n = suku ke-n

Contoh :
1. Tentukan jumlah lima suku pertama jika diketahui suku kelima adalah 240 dan suku pertama adalah 20 !
Jawab :
U₅ = 240
Suku pertama = U₁ = a = 20
U_n = a + (n – 1)b
U₅ = 20 + (5 – 1)b
240 = 20 + 4b
4b = 240 – 20
4b = 220
b = 55

S_n = n/2 (2a + (n – 1)b)
S_5­ = 5/2 (2.20 + (5 – 1)55) = 2,5 (40 + 220) = 2,5 . 260 = 650

2. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret -8 + -5 + -2 + 1 + …!
Jawab :
Deret : -8 + -5 + -2 + 1 + …
U₁ = a = -8
Beda = b = -5 – (-8) = 3
S_n = n/2 (2a + (n – 1)b)
S₁₀ = 10/2 ( 2(-8) + (10 – 1)3) = 5 ((-16) + 27) = 5 . 11 = 55

Barisan aritmetika 

Barisan aritmetik tingakat x adalah sebuah barisan aritmetika yang memiliki selisih yang sama tiap suku yang berurutannya setelah x tingkatan.

Rumus : U_n = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c : 2! + (n – 1)(n – 2)(n – 3)d : 3! + …

Keterangan :
a = suku ke-1 barisan mula-mula
b = suku ke-1 barisan tingkat satu
c = suku ke-1 barisan tingkat dua
d = suku ke-1 barisan tingkat tiga dan seterusnya

contoh :
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan 5, 6, 9, 14, 21, …!
Jawab :
5 6 9 14 21 …
1 3 5 7 … → tingkat satu
2 2 2 … → tingkat dua

a = 5
b = 1
c = 2
U_n = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c : 2!
U_n = 5 + (n – 1)1 + (n – 1)(n – 2)2 : 2
U_n = 5 + n – 1 + n² – 3n + 2
U_n = n² – 2n + 6
Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = n² – 2n + 6

2. Diketahui suatu barisan 10, 14, 20, 28, 38, …

• Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut !

Jawab :
10 14 20 28 38 …
4 6 8 10 … → tingkat satu
2 2 2 … → tingkat dua

Didapat :
a = 10 b = 4 c = 2
rumus suku ke-n
U_n = a + (n – 1)b + (n – 1)(n – 2)c : 2!
U_n = 10 + (n – 1)4 + (n – 1)(n – 2)2 : 2
U_n = 10 + 4n – 4 + n² – 3n + 2
U_n = n² + n + 8
Jadi, rumus suku ke-n adalah U_n = n² + n + 8

• Hitunglah selisih suku ke-15 dan suku ke-10!

Jawab :
Suku ke-15 : U₁₅ = 15² + 15 + 8 = 225 + 23 = 248
Suku ke-10 : U₁₀ = 10² + 10 + 8 = 100 + 18 = 118
Selisih = U₁₅ – U₁₀ = 248 – 118 = 130
Jadi, selisih suku ke-15 dan suku ke-10 adalah 130.

Share this post