Operasi Penjumlahan dan Perkalian Pada Himpunan

Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersama dengan operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.

Definisi I.1

Misalkan A himpunan tidak kosong. Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.

Himpunan bilangan bulat Z mempunyai dua operasi biner yang dikenakan padanya yaitu penjumlahan (+) dan pergandaan (.). Dalam hal ini untuk setiap pasangan x dan y dalam Z, x+y dan x.y dikawankan secara tunggal dengan suatu anggota dalam Z.

Operasi biner mempunyai dua bagian dari definisi yaitu:

1. terdefinisikan dengan baik (well-defined) yaitu untuk setiap pasangan berurutan x, y dalam A dikawankan dengan tepat satu nilai x*y.

2. A tertutup di bawah operasi * yaitu untuk setiap x, y dalam A maka x*y masih dalam A.

Contoh :

Diketahui N himpunan semua bilangan bulat positif. Didefinisikan * dengan aturan x*y = x-y.

Karena 3, 5 dalam N dan 3*5 = 3-5 = -2 tidak berada dalam N maka N tidak tertutup di bawah operasi * sehingga * bukan operasi biner pada N.

Contoh :

Didefinisikan operasi # dengan aturan x # y = x +2y dengan x, y dalam N = {1, 2, 3, … }. Akan ditunjukkan bahwa # merupakan operasi biner.

Jelas bahwa # terdefinisikan dengan baik karena rumus x+2y memberikan hasil tunggal untuk setiap x, y dalam N.

Untuk sebarang x, y dalam N maka jelas bahwa x+2y masih merupakan bilangan bulat positif. Lebih jauh 2y + x > 0 jika x > 0 dan y > 0. Berarti hasil dari x+2y masih merupakan bilangan positif dan akibatnya N tertutup di bawah operasi #.

Hukum-hukum Aljabar

Suatu sistim aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang didefinisikan padanya. Bersama dengan hukum-hukum yang dibutuhkan dalam operasi.

Definisi I.2

Misalkan * operasi biner pada himpunan A.

(1) operasi * assosiatif jika (a*b)*c = a*(b*c) untuk semua a, b, c dalam A.

(2) operasi * komutatif jika a*b = b*a untuk semua a, b dalam A.

Dalam pembahasan selanjutnya hukum-hukum dasar aljabar untuk penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada bilangan bulat Z dan bilangan real R sebagai aksioma (axioms) yaitu diterima tanpa bukti.

Contoh :

Operasi * didefinisikan pada himpunan bilangan real R dengan a*b = (1/2)ab.

Akan ditunjukkan bahwa * assosiatif dan komutatif.

Karena (a*b)*c = (1/2 ab)*c

= (1/2)((1/2 ab)c)

= (1/4) (ab)c

dan pada sisi lain

a*(b*c) = a*((1/2) bc)

= (1/2) a((1/2) bc)

= (1/4)(ab)c

untuk semua a, b dan c dalam R maka * assosiatif. Karena a*b = (1/2)ab

= (1/2)ba = b*a untuk semua a, b dalam R maka * komutatif.

Contoh :

Operasi ⊕ didefinisikan pada bilangan bulat Z dengan aturan a ⊕ b = a + 2b.

Akan ditunjukkan bahwa ⊕ tidak komutatif dan tidak assosiatif.

Karena pada satu sisi

(a ⊕ b) ⊕ c = (a+2b) ⊕ c = (a+2b)+2c

dan pada sisi lain

a ⊕ (b ⊕ c) = a ⊕ (b+2c)

= a+2(b+2c)

= a+(2b+4c)

= (a+2b)+4c

dari kedua hasil tersebut tidak sama untuk c ≠ 0 maka ⊕ tidak assosiatif.

Karena a ⊕ b = a+2b dan b ⊕ a = b+2a dan kedua hasil ini tidak sama untuk a ≠ b maka ⊕ tidak

komutatif.

Terlihat bahwa aturan untuk * tidak menjamin bahwa himpunan X tertutup di bawah operasi *. Berikut ini diberikan suatu cara untuk membuktikan bahwa suatu himpunan tertutup terhadap suatu operasi.

Untuk membuktikan sifat tertutup dari suatu system X dimulai dengan dua sebarang anggota yang dioperasikan dengan operasi * dan kemudian ditunjukkan bahwa hasilnya masih memenuhi syarat keanggotaan dalam X.

Untuk selanjutnya dalam tulisan ini R2 dimaksudkan himpunan semua pasangan berurutan dari bilangan real R2 = { (a,b) | a, b dalam R }.

Contoh :

Misalkan ⊕ mempunyai aturan (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c, b+d).

Akan ditunjukkan bahwa R2 tertutup di bawah operasi ⊕ .

Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) dalam R2 berlaku (a,b) ⊕ (c,d) = (a+c,b+d)

dengan a+c dan b+d dalam R sehingga (a+c,b+d) dalam R2.

Oleh karena itu hasilnya merupakan pasangan berurutan dan tertutup di bawah operasi ⊕. Selanjutnya operasi < A, *> menyatakan himpunan A dan * merupakan operasi yang didefinisikan pada A.

Definisi I.3:

(1) < A,* > memenuhi hukum identitas asalkan A mengandung suatu anggota e sehingga e*a = a*e = a untuk semua a dalam A. Anggota A yang mempunyai sifat demikian dinamakan identitas untuk < A,* >.

(2) < A, * > memenuhi hukum invers asalkan A mengandung suatu identitas e untuk operasi * dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a′ dalam A yang memenuhi a*a′ = a′*a = e. Elemen a′ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a.

Sebagai contoh, Z mengandung identitas 0 untuk operasi penjumlahan dan untuk setiap a dalam Z, anggota –a memenuhi a+(-a) = (-a)+a = 0 sehingga a mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan dan < Z, + > memenuhi hukum invers. Di samping itu Z mengandung identitas 1 terhadap operasi pergandaan tetapi Z tidak mengandung invers terhadap pergandaan kecuali 1 dan -1.

Untuk membuktikan hukum identitas dilakukan dengan menduga anggota tertentu e dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan kemudian menguji apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.

Untuk membuktikan hukum invers dilakukan dengan sebarang anggota x dalam himpunan yang mempunyai identitas e dan menduga invers dari x yaitu x′ dalam himpunan dan kemudian menguji apakah x*x′ = e dan x′*x = e.

Contoh :

Bila operasi didefinisikan seperti pada Contoh I.6 maka akan dibuktikan bahwa hukum invers dan hukum identitas berlaku.

Diduga bahwa (0,0) merupakan anggota identitas. Karena untuk sebarang (a,b) dalam R2 berlaku

(0,0)+(a,b) = (0+a, 0+b) = (a,b) dan (a,b) + (0,0) = (a+0, b+0) = (a,b) maka (0,0) identitas dalam R2.

Bila diberikan sebarang (a,b) dalam R2 maka akan ditunjukkan (-a,-b) dalam R2 merupakan inversnya. Karena –a dan –b dalam R maka (-a,-b) dalam R2. Lebih jauh lagi, (a,b) ⊕ (-a,-b) = (a-a,b-b) = (0,0) dan (-a,-b) ⊕ (a,b) = (-a+a,-b+b) = (0,0) sehingga (-a,-b) merupakan invers dari (a,b) dalam R2 .

Contoh  :

Bila * didefinisikan pada R dengan aturan a*b = ab + a maka akan ditunjukkan bahwa < R, *> tidak memenuhi hukum identitas. Karena supaya a*e sama dengan a untuk semua a haruslah dimiliki ae + a = a sehingga e perlulah sama dengan 0.

Tetapi meskipun a*0 = a maka 0*a = 0*(a+0) = 0 yang secara umum tidak sama dengan a. Oleh karena itu tidak ada e dalam R yang memenuhi a*e = a dan e*a = a. Terbukti bahwa tidak ada identitas dalam R terhadap *.

Share this post