Sifat - sifat Barisan Atau Deret Aritmetika Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Barisan bilangan merupakan susunan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya, sedangkan bilangan - bilangan yang membentuk suatu barisan biasa disebut dengan suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dalam barisan tersebut biasa dilambangkan dengan huruf U1, suku kedua U2, suku ketiga U3, dan seterusnya. Sampai suku ke-n dengan Un (n adalah bilangan asli).

Indeks n menyatakan suku dalam barisan suku ke-n yang di lambangkan dengan Un disebut "suku umum barisan". Pada umumnya suku ke-n atau Un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.

Contoh barisan bilangan:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …………Un.
Rumus umum yang bisa di gunakan untuk mencari suku ke-n atau Un dapat di tentukan dengan cara mengamati pola atau aturan tertentu yang terdapat pada tiga atau empat suku pertama dari barisan tersebut.

Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika merupakan barisan yang memiliki ciri-ciri tertentu, yaitu selisih antara dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap (konstan), sedangkan selisih dari dua suku yang berurutan disebut sebagai beda dari barisan aritmetika yang biasa dilambangkan dengan huruf b.

Contoh :
1). Untuk barisan 1, 4, 7, 10,… beda (b) = 10 – 7 = 7 – 4 = 4 – 1 = 3
2). Untuk barisan 6, 4, 2, 0,... beda (b) = 0 – 2 = 2 – 4 = 4 – 6 = -2
Kita hanya perlu mengurangkan antar suku tersebut untuk mengetahui beda dari barisan tersebut.
Sedangkan deret merupakan suku-suku beruntun dari suku-suku suatu barisan, misalkan 1, 3, 5, 7, melalui hubungan sebagai berikut :
Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b, maka rumus umumnya bisa di tentukan oleh : Un = a + (n – 1) b

Deret juga merupakan jumlah suku - suku suatu barisan yang biasa di sebut dengan penjumlahan beruntun. Misalkan U1, U2, U3,…,Un merupakan suku - suku suatu barisan yang biasa di tuliskan sebagai U1 + U2 + U3+ …+ Un.
Dalam bentuk penjumlahan beruntun tersebut Un bisa disebut sebagai suku penjumlahan ke - n. Jika n merupakan bilangan asli berhingga maka deret tersebut dinamakan deret berhingga. Untuk cara penulisan deret yang praktis kita bisa menuliskan tiga buah suku penjumlahan pertama yang kemudian diikuti dengan tiga buah titik (…), dan diakhiri dengan suku penjumlahan yang terakhir.
Untuk lebih jelas dalam menghitung barisan dan deret aritmetika perhatikan pembahasan contoh soal berikut ini :

Contoh Soal Barisan Aritmetika :
a. Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-5 dari barisan aritmetika 1, 3, 5, 7,…
b. Jika suku pertama dari barisan aritmetika sama dengan 4 dan bedanya adalah 7. Maka carilah suku ke - 10 dan suku ke berapa yang nilainya adalah 100?

Pembahasan :
Cara penyelesaiannya,
a. Misalkan, a merupakan suku pertama, dan b (beda)
Barisan 1, 3, 5, 7.
Suku pertama U1 = a = 1, beda "b" (untuk mencari beda kita hanya perlu mengurangkan suku kedua dengan ke satu) = 3 – 1 = 2
Suku ke 5 => U5 = a + 4b
U5 = 1 + 4(2)
U5 = 1 + 8
U5 = 9
Jadi, bisa diketahui bahwa suku pertamanya 1, beda (b) = 2 dan juga suku kelimanya adalah 9.

b. Yang pertama kita harus mencari suku ke - 10 terlebih dahulu dengan menggunakan rumus :
Un = a + (n -1 ) b
Un = bn + (a - b)
a = 4
b = 7
Sehingga, Un = 4 + (n – 1) 7 = 7n – 5
Suku ke - 10 yaitu U10 = 7(10) – 5
= 65
Jadi, suku ke - 10 nya adalah 65.
Setelah kita mengetahui suku ke - 10 barulah kita mencari suku ke berapa yang nilainya 100.
Un = 7n – 5
7n – 5 = 100
7n = 105
n = 105
7
n = 15
Jadi, suku yang bernilai 100 adalah suku yang ke - 15.

Contoh Soal Deret Aritmetika :
a. Hitunglah jumlah 60 suku pertama dari deret - deret aritmetika 2 + 4 + 6 + 8 …
b. Hitunglah jumlah deret aritmetika berikut : 3 + 6 + 9 + … + 90
c. Diketahui suatu deret aritmetika adalah 2 + 6 + 10 + 14 + …. Maka tentukanlah rumus umum suku ke - n, rumus jumlah n suku pertamanya, dan juga hitunglah jumlah 60 suku pertamanya.

Penyelesaian :

a. Untuk mengetahui 60 suku pertama kita bisa menggunakan hubungan :

Sehingga,

Dari deret aritmetika 2 + 4 + 6 + 8… dapat diperoleh a = 2 dan b = 2
U60 = a + 58b = 2 + 58(2) = 118
S40 = 30 (a + U40) = 30 (2 + 118) = 3600.
Jadi, jumlah 40 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah S40 = 3600.

b. Untuk menyelesaikan jumlah deret aritmetika dari 3 + 6 + 9…+ 90
Kita bisa menggunakan hubungan Un = a + (n – 1) b
3 + 6 + 9 + …+ 90
a = 3, b = 3, dan un = 90
90 = 3 + (n – 1) 3 ↔ 90 = 3n ↔ n = 30

= 15 (3 + 90) = 1395

Jadi, jumlah deretnya adalah S30 = 1395.

c. Baris arimetika dari deret adalah 2, 6, 10, 14… yang suku pertamanya a = 2 dan b = 4
Yang pertama kita harus mencari rumus umum suku ke - n.
Dengan rumus umum suku ke - n : Un = a + (n – 1) b
Un = 2 + (n – 1) 4
Un = 4n – 1
Jadi , rumus umumnya adalah Un = 4n – 1.
Untuk mencari jumlah n suku pertama kita gunakan rumus :