Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika

Segitiga pascal merupakan sebuah aturan geometri yang berisi susunan koefisien binomial yang bentuknya menyerupai segitiga. Manfaat dari segitiga pascal ini salah satunya yaitu untuk menyelesaikan soal perpangkatan dengan cepat, dari segitiga pascal ini kita tidak perlu mengalikan bilangan satu persatu tetapi bisa langsung mengetahui koefisien dari penyelesaian soal perpangkatan.

Perhatikan gambar segitiga pascal berikut ini :

Lima barisan pertama pada segitiga pascal

Dari gambar segitiga pascal di atas, bisa kita lihat bahwa puncak bagian teratas baris ke - 0 diisi dengan angka 1. Kemudian di bawahnya (baris ke - 1) diisi dengan angka 1 dan 1. Kemudian baris selanjutnya (baris ke - 2) masih diisi dengan angka 1 dan 1 dibagian sisinya kemudian pada bagian dalam diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya yaitu 1+1=2.

Untuk baris ke - 3 diisi dengan angka 1 dan 1 pada bagian sisi kemudian bagian tengahnya diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada pada baris ke - 2 yaitu 1+2=3. Kemudian baris keempat (angka 4) dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya, yaitu 1+3=4 begitu juga angka 6 dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya yaitu 3+3=6, dan seterusnya.

Rumus Segitiga Pascal

Penyederhanaan bentuk  merupakan koefisien dari setiap baris segitiga pascal, yang apabila dijabarkan maka akan terlihat bahwa koefisien yang diperoleh dari bentuk tersebut sama persis dengan bilangan yang ada pada setiap baris segitiga pascal di atas.

Untuk lebih jelasnya perhatikan bentuk penyederhanaan berikut :

1.  (a + b)¹ = a + b → Koefisiennya adalah 1 dan 1
2. (a + b)² = a² + 2ab + b² → Koefisiennya adalah 1, 2, dan 1 
3. (a + b)³ = (a + b) (a² +2ab + b²⁾
                   = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
                   = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ → Koefisiennya adalah 1, 3, 3, dan 1

Semua bilangan di atas merupakan koefisien dari expansi pangkat binomial,
Perhatikan contoh berikut :

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

dari contoh tersebut, pada i = 4 diperoleh koefisien dari expansi pangkat binomial 4 yaitu 1, 4, 6, 4, dan 1 yang merupakan bilangan - bilangan yang mengisi baris ke - 4 pada segitiga pascal.
Perhatikan teorema binomial berikut :

               

Dari uraian di atas, secara umum bisa disimpulkan bahwa barisan bilangan pada baris i = k dalam segitiga pascal dapat dituliskan menjadi :

 

Lebih jelasnya, kita ambil contoh dari bilangan ke - 2 dan ke - 3 pada baris ke - 5 dalam segitiga pascal, sehingga :

Berdasarkan pola di atas diperoleh rumus baru yang bisa digunakan untuk menentukan bilangan a_i,j yang merupakan bilangan pada baris ke - i dan kolom ke - j, seperti di bawah ini :

Kemudian, misalkan kita akan mencari bilangan baris ke - 7 tepat pada kolom ke - 6, maka rumusnya :

Dari penjabaran rumus di atas, barisan bilangan ke - d dapa dituliskan sebagai berikut :

Sebagai pembuktian dari rumus di atas, kita coba mencari diagonal ke - 3 yang memiliki pola n(n + 1) / 2 dalam segitiga pascal dengan d = 3, sehingga :

Share this post