Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear Dengan Soal Dan Pembahasan

Pada kesempatan kali ini, akan diberikan 8 contoh terapan matriks dalam kehidupan sehari-hari beserta cara untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Nomor 1
Soal: Diketahui Sistem Persamaan Linear (SPL) sebagai berikut:

$p +q-2r+3s-4=0$

$3q+3r=s-2p+3$

$4r+s=5-5p-7q$

(a) Tuliskan SPL di atas dalam notasi matriks AX = B
(b) Periksa apakah SPL di atas memiliki solusi
Jawab:
(a) Dapat dituliskan,

$\begin{pmatrix} 1 &1 &-2 &3 \\ 2 &3 &3 &-1 \\ 5 &7 &4 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p\\ q\\ r\\ s \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}$

(b) Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar menghasilkan:

Karena p(A|B) # p(A) maka SPL tidak konsisten sehingga tidak mempunyai solusi.

Nomor 2
Soal: Diketahui sistem persamaan linear (SPL) sebagai berikut:
$x+2y=5$
$2x +\alpha y=3$
Tentukan nilai $\alpha$ sehingga SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal.

Jawab:

Agar SPL memiliki penyelesaian tunggal maka haruslah
p(A) = p(A|B) = 2 <==> a - 4 # 0 <==> a # 4

Nomor 3
Soal: Diberikan Sistem Persamaan Linear (SPL) berikut:

$x_{1}+x_{2}=2$

$x_{1}+\alpha x_{2}=4$

Tentukan nilai $\alpha$ sedemikian sehingga:
(a) SPL memiliki persamaan tunggal
(b) SPL memiliki takhingga banyak solusi
(c) SPL tidak memiliki solusi
Jawab:
Operasi baris dasar terhadap matriks diperbesar (A|B) menghasilkan:

(a) SPL memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika
p(A) = p(A|B) =2   <===> a - 1 # 0 <===> a # 1

(b) SPL memiliki takhingga banyak solusi jika dan hanya jika
p(A) = p(A|B) < 2 <===>    a anggota dari himpunan kosong

(c) SPL tidak memiliki solusi jika dan hanya jika
p(A) # p(A|B)    <===>   a - 1 = 0    <===>   a = 1

Nomor 4
Soal: Sebuah perusahaan akan membuat dua jenis sampo, yaitu sampo A dan sampo B. Bahan baku yang tersedia cukup untuk membuat setiap jenis sampo tetapi botol yang tersedia hanya 75000 buah. Waktu yang diperlukan untuk membuat 1000 sampo A dan 1000 sampo B berturut-turut adalah 5 jam dan 2 jam. Berapa botol sampo A dan sampo B yang dapat dibuat agar seluruh botol terpakai dalam waktu 300 jam?
Jawab:
Misalkan a dan b berturut-turut menyatakan banyaknya sampo A dan B yang dapat dibuat (dalam botol).
Masalah di atas dapat dutuliskan dalam bentuk SPL sebagai berikut:
$a+b=75000$
$\frac{5}{1000}a+\frac{2}{1000}b=300$
atau
$\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 5 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 75000\\ 300000 \end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 5 &2 \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} 75000\\ 300000 \end{pmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50000\\ 25000 \end{pmatrix}$

Sehingga banyaknya sampo A yang dapat dibuat yaitu 50000 dan sampo B yaitu 25000

Nomor 5
Soal: Toko kue dan roti "Merdeka" akan memproduksi 3 jenis roti spesial, yaitu A, B, dan C. Sebuah roti jenis A membutuhkan 1 kg tepung, 2 kg mentega dan 2 kg gula. Sebuah roti jenis B membutuhkan 1 kg tepung, 3 kg mentega, dan 2 kg gula. Sebuah roti jenis C membutuhkan 2 kg tepung, 2 kg mentega dan k kg gula. Toko tersebut memiliki persediaan 400 kg tepung, 200 kg mentega dan 900 kg gula. Diinginkan persediaan setiap bahan habis dan setiap jenis roti diproduksi.
(a) Rumuskan masalah di atas dalam bentuk sistem persamaan linear (SPL)
(b) Tentukan nilai k agar semua janis roti diproduksi
Jawab:
(a) SPL:
$a+b+2c=400$
$2a+3b+2c=700$
$2a+2b+kc=900$
Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar menghasilkan

agar SPL konsisten k # 4
(b) Penyelesaian Sistem Persamaan Linear ( SPL ):
$c=\frac{100}{k-4}$
$b=-100+2c=-100+\frac{200}{k-4}=\frac{600-100k}{k-4}$
$a=400-b-2c=400-\frac{600-100k}{k-4}=\frac{500k-2400}{k-4}$
Agar semua jenis roti diproduksi, haruslah a,b,c merupakan bilangan-bilangan positif, sehingga:
$c> 0\Leftrightarrow \frac{100}{k-4}> 0\Leftrightarrow k-4> 0\Leftrightarrow k> 4$
$b> 0\Leftrightarrow \frac{600-100k}{k-4}> 0\Leftrightarrow 600-100k> 0\Leftrightarrow 6> k$
$a> 0\Leftrightarrow \frac{500-2400k}{k-4}> 0\Leftrightarrow 500-2400k> 0\Leftrightarrow k> \frac{24}{5}$
atau secara singkat

$\frac{24}{5}< k< 6$

Dapat diperiksa bahwa satu-satunya k yang menghasilkan a, b, c bulat positif adalah k = 5, sehingga

$\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 100\\ 100\\ 100 \end{pmatrix}$

Nomor 6
Soal: Dua kelompok siswa masing-masing 12 orang pergi bertamasya ke "AMAZING TRADITIONAL PARK". Di sana tersedia fasilitas rekreasi dengan harga tiket kelipatan Rp 10.000. Siswa di kelompok memilih permainan "Ciut Nyali", "Ayun Gantung" dan "Terbang Nyungsep" masing-masing 3 , 6 dan 3 orang. Di kelompok B, permainan "Ciut Nyali" dipilih 2 siswa, permainan "Ayun Gantung" dan " Terbang Nyunsep" masing-masing dipilih 5 orang siswa. Jika kelompok A dan B masing-masing membayar total Rp 270.000 dan Rp 250.000.
Pertanyaannya:
(a) Formulasikan msalah tersebut ke dalam SPL
(b) Selesaikan SPL tersebut dan tentukan harga tiket masing-masing permainan tersebut
Jawab:
(a) Misalkan:
x = harga tiket permainan "Ciut Nyali"
y = harga tiket permainan "Ayun Gantung"
z = harga tiket permainan "Terbang Nyungsep"
3x + 6y + 3z = 270000
2x + 5y + 5z = 250000
dengan x,y,z > 0 dan x,y,z = 10000k, dimana k: bilangan bulat positif.

(b)

Diperoleh
x + 2y + z = 90000
y + 3z = 70000 <===> y =70000 - 3z

Misalkan z = k, maka:
y = 70000 - 3z
x = 90000 - 2y - z
= 5k - 50000

Diperoleh

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5k-50000\\ 70000-3k\\ k \end{pmatrix}$

Diketahui:
x,y,z > 0 artinya:

5k - 50000 > 0
70000 - 3k > 0
k > 0
atau:
10000 < k < 70000/3

karena x,y,z = 10000k dimana k: bilangan positif maka k = 20000 sehingga

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50000\\ 10000\\ 20000 \end{pmatrix}$

Jadi:
Harga tiket permainan "Ciut Nyali" adalah Rp 50000
Harga tiket permainan "Ayun Gantung" adalah Rp 10000
Harga tiket permainan " Terbang Nyunsep" adalah Rp 20000

Nomor 7
Soal: Tahun lalu Pak Karta membeli sejumlah saham tiga perusahaan, yaitu PT OgahRugi, PT FulusTerus dan PT SemogaJaya. Harga perlembar saham PT OgahRugi sebesar $50, PT FulusTerus $40 dan PT SemogaJaya sebesar $30. Pak Karta menghabiskan uang sebesar $23200 untuk membeli saham ketiga perusahaan tersebut, dengan banyaknya saham PT FulusSaham yang dibeli adalah dua kali lipat banyaknya saham PT SemogaJaya. Tahun ini harga saham PT OgahRugi naik 20% sedangkan harga saham kedua perusahaan lainnya naik 10%. Pak Karta menjual seluruh sahamnya dengan harga $3320 lebih tinggi daripada harga saat ia membelinya. Berapa banyaknya saham setiap perusahaan yang dibeli oleh Pak Karta tahun lalu?
Jawab:
Misalkan:
x : banyaknya saham PT OgahRugi yang dibeli Pak Karta tahun lalu
y : banyaknya saham PT FulusTerus yang dibeli Pak Karta tahun lalu
z : banyaknya saham PT SemogaJaya yang dibeli Pak Karta tahun lalu

SPL:
50x + 40y + 30z = 23200
y = 2z
50.120% x + 40.110% y + 30.110% z = 23200 + 3320

Secara ekuivalen
5x + 4y + 3z =2320
y - 2z = 0
60x + 44y + 33z = 26520

Dalam notasi matriks:

$\begin{pmatrix} 5 &4 &3 \\ 0 &1 &-2 \\ 60 &44 &33 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2320\\ 0\\ 26520 \end{pmatrix}$

Solusinya:

Sehingga diperoleh:

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 200\\ 240\\ 120 \end{pmatrix}$

Nomor 8
Soal: Seorang pedagang grosir pakaian anak-anak di Pasar Anyar menjual kaos dalam serap keringat harga Rp 5000/3 buah, celana pendek anti sobek Rp 9000/buah dan kemeja tanpa kerah Rp 10000/buah. Menjelang lebaran yang lalu Mang Apud pedagang keliling di kampung Babakan membeli kaus dalam, celana pendek, dan kemeja yang seluruhnya sebanyak 90 buah seharga total Rp 436000. Dengan menggunakan SPL, tentukan banyaknya kaos dalam, celana pendek, dan kemeja yang dibeli Mang Apud!
Jawab:
Misalkan:
x : banyaknya kaos dalam yang dibeli
y: banyaknya celana pendek yang dibeli
z: banyaknya kemeja yang dibeli
SPL:
$x+y+z=90$
$\frac{5000}{3}x+9000y+10000z=436000$
Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks diperbesar:

Dari baris kedua diperoleh
$22y+25z=858\Leftrightarrow y+\frac{25}{22}z=39$
Karena z merupakan bilangan bulat positif maka penyelesaian yang mungkin bagi z adalah 22, 44, 66,...
Dan karena y juga merupakan bilangan bulat positif maka $z\geq 44$ adalah tidak mungkin sehingga satu-satunya penyelesaian bagi z adalah 22.
Selanjutnya diperoleh:
y + 25 = 39 <==> y = 14
Dari baris pertama akhirnya diperoleh:
x = 90 - 14 - 22 = 54
Jadi,

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 54\\ 14\\ 22 \end{pmatrix}$

Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear Dengan Soal Dan Pembahasan

0 Response to "Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear Dengan Soal Dan Pembahasan"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel