Pembahasan Contoh Soal Matrik Untuk Matematika SMA

Pada kesempatan kali ini, akan diberikan 7 nomor untuk soal beserta cara penyelesaiannya tentang matriks dan operasinya.

Nomor 1
Soal: Diberikan mariks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1\\ 3 \end{pmatrix}$

Tentukan:
$(AB^{T}+I_{2})^{-1}$
Jawab:
Pertama-tama cari dahulu

$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.(-1)=-1 &1.3=3 \\ 2.(-1)=-2 & 3.3=6 \end{pmatrix}$

Setelah itu tambahkan hasil di atas dengan $I_{2}$ sehingga akan seperti berikut:

$AB^{T}+I_{2}=\begin{pmatrix} -1 &3 \\ -2 &6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1+1=0 &3+0=3 \\ -2+0=-2 &6+1=7 \end{pmatrix}$

Kemudian hasil di atas, di inverskan. Pertama-tama cari dahulu nilai determinan dari matriks yang sudah diperoleh yaitu sebagai berikut:

$AB^{T}+I_{2}=0.7-3(-2)=6$

Dengan demikian:

$(AB^{T}+I_{2})^{-1}=\frac{1}{6}\begin{pmatrix} 7 &-3 \\ 2 &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7/6 &-1/2 \\ 1/3& 0 \end{pmatrix}$

Nomor 2
Soal: Diberikan matrik A berukuran 2x2 dan matriks B berukuran 3x2 sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 &-2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}$

Tentukan:
(a) $AB^{T}$
(b) Pangkat matriks B, dan berikan alasannya.
Jawab:
(a) Petama-tama, ubah dahulu matriks B menjadi matrik B yang di transpos sebagai berikut:

$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 & 0\\ 6 &1 \end{pmatrix}\rightarrow B^{T}=\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}$

Setelah itu, tentukan $AB^{T}$ sebagai berikut:
$AB^{T}=\begin{pmatrix} 3 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &2 &6 \\ -1 &0 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3(1)+(-1)(-1)=4 &3(2)+(-1)(0)=6 &3(6)+(-1)(1)=17 \\ 1(1)+(-2)(-1)=3 &1(2)+(-2)(0)=2 &1(6)+(-2)(1)=4 \end{pmatrix}$
(b) Untuk menjawab pertanyaan b, ada 2 cara penyelesaian yaitu sebagai berikut:

Cara 1: Ambil anak matriks dari matriks B berukuran 2x2 sebagai berikut:

$\hat{B}=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \end{pmatrix}$

karena :
$\left | \hat{B} \right |=2\neq 0$
maka p(B) = 2

Cara 2: Lakukan serangkaian Operasi Baris Dasar (OBD) terhadap matriks B sehingga menjadi matriks mirip sgitiga atas. Seperti berikut ini:
$B=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2 &0 \\ 6 &1 \end{pmatrix}E_{21(-2)}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 2+1(-2)=0 &0+(-1)(-2)=2 \\ 6 &1 \end{pmatrix}E_{31(-6)}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 0 &2 \\ 6+1(-6)=0 &1+(-1)(-6)=7 \end{pmatrix}$

$E_{32(-7/2)}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 0 &2 \\ 0 &7+2(-7/2=0) \end{pmatrix}$
Terlihat bahwa p(B) = 2

Nomor 3
Soal: Diberikan matriks B sebagai berikut:

$B=\begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ -1 &1 &1 \\ 1 &0 &0 \end{pmatrix}$

Tentukan: $B^{-1}$ dengan metode matriks adjoin.
Jawab:
Pertama-tama, tentukan dahulu matriks kofaktornya sebagai berikut:
Matriks kofaktor $C=(a_{ij})$ dengan:
$\alpha _{11}=(-1)^{2}\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 0 &0 \end{vmatrix}=(1)[1(0)-1(0)=0]=0$
$\alpha _{21}=(-1)^{3}\begin{vmatrix} 1 &0 \\ 0 &0 \end{vmatrix}=(-1)[1(0)-0(0)=0]=0$
$\alpha _{31}=(-1)^{4}\begin{vmatrix} 1 &0 \\ 1 &1 \end{vmatrix}=(1)[1(1)-1(0)=1]=1$
$\alpha _{12}=(-1)^{3}\begin{vmatrix} -1 &1 \\ 1 &0 \end{vmatrix}=(-1)[-1(0)-1(1)=-1]=1$
$\alpha _{22}=(-1)^{4}\begin{vmatrix} 0 &0 \\ 1 &0 \end{vmatrix}=(1)[0(0)-1(0)=0]=0$
$\alpha _{32}=(-1)^{5}\begin{vmatrix} 0 &0 \\ -1 &1 \end{vmatrix}=(-1)[0(1)-(-1)(0)=0]=0$
$\alpha _{13}=(-1)^{4}\begin{vmatrix} -1 &1 \\ 1 &0 \end{vmatrix}=(1)[-1(0)-1(1)=-1]=-1$
$\alpha _{23}=(-1)^{5}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 1 &0 \end{vmatrix}=(1)[0(0)-1(1)=-1]=1$
$\alpha _{23}=(-1)^{6}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ -1 &1 \end{vmatrix}=(1)[0(1)-(-1)(1)=1]=1$
Sehingga matriks kofaktornya sebagai berikut:

$C=\begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix}$

Dengan mengambil baris ke-3 dari matriks B, diperoleh:

$\left | B \right |=\alpha _{31}\alpha _{31}+\alpha _{32}\alpha _{32}+\alpha _{33}\alpha _{33}=1.1+0.0+0.0=1$

Maka:

$B^{-1}=\frac{1}{\left | B \right |}C^{T}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix} 0 &1 &-1 \\ 0 &0 &1 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix}^{T}=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 1 &0 &0 \\ -1 &1 &1 \end{pmatrix}$

Nomor 4
Soal: Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0 &3 &4 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 4 &0 &-3 \\ -1 &-2 &3 \end{pmatrix}$

Jika ada, tentukan:
(a) $AB^{T}$
(b) $(AB^{T})^{-1}$
Jawab:
(a) Akan diperoleh seperti dibawah ini:

$AB^{T}=\begin{pmatrix} 1 &-1 &2 \\ 0 &3 &4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 &-1 \\ 0 &-2 \\ -3 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 &7 \\ -12 &6 \end{pmatrix}$

(b) Untuk mencari matriks invers dari jawaban (a) maka terlebih dahulu tentukan nilai determinannya, yaitu: (-2)(6) - (-12)(7) = 72. Sehingga,

$(AB^{T})^{-1}=\frac{1}{72}\begin{pmatrix} 6 &-7 \\ 12 &-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/12 &-7/72 \\ 1/6 & -1/36 \end{pmatrix}$

Nomor 5
Soal: Diberikan matriks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$

Tentukan:
(a) 3BA - 2B
(b) $det(5A^{T})$
Jawab:
(a) Akan diperoleh sebagai berikut:
$3BA-2B=3\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 3 &-4 \end{pmatrix}$
$3BA-2B=\begin{pmatrix} 27 &-33 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 &-8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -33 &-25 \end{pmatrix}$
(b) Pertama-tama cari dahulu

$5A^{T}=5\begin{pmatrix} 1 &-1 \\ 3 &2 \end{pmatrix}^{T}= 5\begin{pmatrix} 1 &3 \\ -1 &2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 &15 \\ -5 &10 \end{pmatrix}$

Kemudian determinankan hasil matriks tersebut sebagai berikut:

$det(5A^{T})=5(10)-(-5)(15)=125$

Nomor 6
Soal: Diketahui matriks-matriks A dan B sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \end{pmatrix}$

Tentukan:
(a) $AB^{T}$
(b) pangkat matriks A
Jawab:
(a) Akan diperoleh:

$AB^{T}=\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2(1)+1(2)+(-2)(3)=-2\\ 0(1)+1(2)+0(3)=2\\ 0(1)+2(2)+0(3)=4 \end{pmatrix}$

(b) Karena baris ke tiga merupakan kelipatan baris ke dua maka |A| = 0 sehingga p(A) < 3. Dengan mengambil salah satu anak matriks berukuran 2 x 2 maka akan di peroleh sebagai berikut:

$\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix}=2\neq 0$

Sehingga p(A) = 2.
Atau dengan cara lain, yaitu melakukan Operasi Baris Dasar (OBD) sehingga A menjadi matriks segitiga atas seperti di bawah ini:

$\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \end{pmatrix}E_{32(-2)}\begin{pmatrix} 2 &1 &-2 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &2+1(-2)=0 &0 \end{pmatrix}$

Diperoleh, p(A) = 2

Nomor 7
Soal: Diberikan matriks A dan C sebagai berikut:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

Tentukan: matriks X yang memenuhi

$AXC=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0&1 \end{pmatrix},C=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ \end{pmatrix}$

Jawab:
$X=A^{-1}\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \end{pmatrix}C^{-1}$
$=\begin{pmatrix} -1 &2 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1/2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 &2 &0 \\ 0 &-1 &0 \end{pmatrix}$

Pembahasan Contoh Soal Matrik Untuk Matematika SMA

0 Response to "Pembahasan Contoh Soal Matrik Untuk Matematika SMA"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel