Menyelesaikan Matriks Menggunakan Metode Minor Kofaktor

Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks 3x3. Perhitungan determinan suatu matriks dengan ukuran lebih besar sangat rumit jika menggunakan metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan matriks segi adalah denga minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Cara ini dijelaskan sebagai berikut:

Misalkan $A_{ij}$ adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks $A_{mxn}$ .

Didefinisikan sebagai berikut:

Minor elemen $a_{ij}$ diberi notasi $M_{ij}$ , adalah $M_{ij}=det(A_{ij})$ .
Kofaktor elemen $a_{ij}$ , diberi notasi $\alpha _{ij}$ , adalah $\alpha _{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ .

Contoh:

Misalkan suatu matriks A berukuran 3x3 seperti berikut ini:

$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$

maka diperoleh:

$A_{11}=\begin{pmatrix} 5 &6 \\ 8 &9 \end{pmatrix}; M_{11}=45 - 48 = -3$

$A_{12}=\begin{pmatrix} 4 &6 \\ 7 &9 \end{pmatrix}; M_{12}=36 - 42 = -6$

$A_{23}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 7 &8 \end{pmatrix}; M_{23}=8 - 14 = -6$

Perhitungan Determinan dengan Minor-Kofaktor

Definisi: Misalkan suatu matriks A = $(a_{ij})_{nxn}$ dan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$ , maka:

Contoh 1:

Hitunglah determinan matriks berikut"

$\begin{pmatrix} 3 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &1 \end{pmatrix}$

Jawab:

Untuk menghitung determinan dari matriks tersebut kita gunakan definisi diatas, dengan memilih baris ke-2, sehingga:

$det(A)=a_{21}\alpha _{21}+a_{22}\alpha _{22}+a_{23}\alpha _{23}$

Dalam hal ini, $a_{21}=1,a_{22}=3, a_{23}=2$ , dan

$a_{21}=(-1)^{2+1} det(A_{21})=-\begin{vmatrix} -2 &1 \\ -3 &1 \end{vmatrix}=-(-2-(-3))=-1$

$a_{22}=(-1)^{2+2} det(A_{22})=+\begin{vmatrix} 3 &1 \\ 0 &1 \end{vmatrix}=3-0=3$

$a_{23}=(-1)^{2+3} det(A_{23})=-\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}=-(-9-0)=9$

Jadi, det(A)=1(-1) + 3(3) + 2(9) = 26

Selanjutnya dengan menggunakan definisi diatas lagi, kita juga bisa dengan memilih baris/kolom lainnya, misal dipilih kolom ke-3, maka:

$det(\mathbf{A})=a_{13}\alpha _{13}+a_{23}\alpha _{23}+a_{33}\alpha _{33}$

dalam hal ini, $a_{13}=1,a_{23}=2,a_{33}=1$ , dan

$a_{13}=(-1)^{1+3}det(A_{13})= +\begin{vmatrix} 1 &3 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}=-3$

$a_{23}=(-1)^{2+3}det(A_{23})= -\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 0 &-3 \end{vmatrix}=9$

$a_{33}=(-1)^{3+3}det(A_{33})= -\begin{vmatrix} 3 &-2 \\ 1 &-3 \end{vmatrix}=11$

Jadi, det(A) = 1(-3) + 2(9) + 1(11) = 26

Apabila kita perhatikan pada hasil akhir pada penyelesaiannya, kita akan dapatkan hasil yang sama. Maka kita cukup memilih satu baris atau kolom saja untuk mengerjakan soal seperti diatas.

Contoh 2:

Tentukan determinan matriks $A_{3x3}$ berikut ini:

$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$

Jawab:

Dengan menggunakan definisi diatas, dengan memilih baris ke-1

$A_{11}=\begin{pmatrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \\ \end{pmatrix}; \alpha _{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}$

$A_{12}=\begin{pmatrix} a_{21} &a_{23} \\ a_{31} &a_{33} \\ \end{pmatrix}; \alpha _{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})$

$A_{13}=\begin{pmatrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32} \\ \end{pmatrix}; \alpha _{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$

Jadi didapatkan seperti dibawah ini:

$det(A)=a_{11}\alpha _{11} + a_{12}\alpha _{12} + a_{13}\alpha _{13}=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}= (a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32})-(a_{13}a_{22}a_{31}+ a_{11}a_{32}a_{23} + a_{12}a_{21}a_{33})$

Jika diperhatikan sebenarnya rumus pada metode Sarrus diperoleh dari metode minor-kofaktor.

Perhatikan bahwa tanda untuk kofaktor bergantung pada penjumlahan i dan j. Untuk memudahkan perhitungan determinan dengan menggunakan minor-kofaktor, perhatikan tabel berikut:

$\begin{pmatrix} + &- &+ &. &. &. \\ - &+ &- &. &. & .\\ + &- &+ &. &. &. \\ . &. &. &. & & \\ . &. &. & &. & \\ . &. &. & & &. \end{pmatrix}$

Jika dipilih baris ke-1, maka: $det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+...$

Jika dipilih baris ke-2, maka: $det(A)=-a_{21}M_{21}-a_{22}M_{22}+...$

dan seterusnya.

Menyelesaikan Matriks Menggunakan Metode Minor Kofaktor

0 Response to "Menyelesaikan Matriks Menggunakan Metode Minor Kofaktor"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel