Sifat - Sifat Operasi Himpunan Materi Matematika SMP

Sifat - Sifat Operasi Himpunan Materi Matematika SMP
setelah kita belajar operasi pada himpunan, nah kali ini kita akan membahas tentang sifat - sifat pada operasi himpunan. Lalu bagaimana sifat - sifat operasi pada himpunan. Ada empat sifat operasi yang berlaku pada himpunan yaitu komulatif, asosiatif, distributif dan dalil de morgan. bagaimana uraiannya? mari kita bahas bersama - sama di bawah ini.

Sifat Komutatif Irisan Himpunan
A ∩ B = B ∩ A
Misal :
Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5} maka A ˆ∩ B = {3, 4} dan B ˆ∩ A = {3, 4}.
Tampak bahwa A ˆ∩ B = B ∩ ˆA.Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.

Sifat Komulatif pada Gabungan Himpunan
A ∪ B = B ∪ A
Misal :
Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5} maka A ˆ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} dan B ˆ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}.
Tampak bahwa A ˆ∪ B = B ∪ ˆA.Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.

Sifat Asosiatif Irisan Himpunan
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Contoh:
Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.
Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Pejelasan :
Anggota himpunan A yang juga terdapat di himpunan B adalah r, s, sehingga diperoleh A ∩ B = {r, s}. Adakah anggota himpuanan C yang sama dengan anggota di A ∩ B? Ternyata ada yaitu r, s. Dengan demikian, (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Selanjutnya, perhatikan anggota himpunan B yang terdapat di himpunan C yaitu r, s, sehingga B ∩ C = {r, s}. Amati anggota himpunan A yang terdapat di himpunan B ∩ C yaitu r, s, sehingga (A ∩ B) ∩ C = {r, s}. Dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Sifat Asosiatif Gabungan Himpunan
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Contoh:
Diketahui A = {p, q, r, s}, B = {r, s, t} dan C = {q, r, s}.
Tunjukkan bahwa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) dan (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Penjelasan :
Kita tentukan dahulu (A ∪ B) ∪ C.
(A ∪ B) ∪ C = ({p, q, r, s} ∪ {r, s, t}) ∪ {q, r, s}
(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t} ∪ {q, r, s}
(A ∪ B) ∪ C = {p, q, r, s, t}
Kemudian, kita tentukan A ∪ (B ∪ C).
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ ({r, s, t} ∪ {q, r, s})
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s} ∪ {q, r, s, t}
A ∪ (B ∪ C) = {p, q, r, s, t}
Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Sifat  Distributif pada irisan himpunan dan gabungan himpunan
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Contoh:
Diketahui himpunan A = {1, 2, 3, 4, ..., 10}, B = {2, 4, 6, 8, 10} dan C = {1, 3, 5, 7, 9}. Tunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Penjelasan :
Langkah pertama, tentukan hasil dari A ∩ (B ∪ C).
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ ({2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9})
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 2, 3, 4, ..., 10}
A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
Langkah kedua tentukan hasil dari (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ C) = {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3, 5, 7, 9}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 2, 3, 4, ..., 10}
Dengan membandingkan hasil akhir langkah pertama dan kedua, dapat ditunjukkan bahwa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Dalil De Morgan
Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan anggota A dan dilambangkan dengan AC.
(A ∩ B)C = AC ∪ BC
(A ∪ B)C = AC ∩ BC

Share this post