Rangkuman, Contoh Soal dan Pembahasan dari Integral Taktentu dan Integral Tentu

Matematika memiliki banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta pemangkatan dan penarikan akar. Dalam setiap kasus, operasi kedua"menghapuskan" operasi yang pertama, dan sebaliknya. Salah satu manfaatnya adalah kegunaannya dalam menyelesaikan suatu persamaan. Misalnya untuk memecahkan mmmm, kita melakukan penarikan akar. Sebelumnya pasti kita telah mengetahui turunan suatu fungsi. Jika kita bermaksud menyelesaikan persamaan yang melibatkan turunan, maka kita memerlukan operasi balikannya, yaitu antiturunan atau integrasi.

Dengan turunan dan antiturunan kita dapat menyelesaikan banyak masalah antara lain: penentuan ketinggian pesawat ulang-aling pada waktu tertentu, penentuan kosumsi energi di Jakarta pada suatu hari, peramalan jumlah populasi (penduduk, bakteri, dll.) dimasa yang akan datang, dan lain sebagainya. Jadi misalkan diberi turunan suatu fungsi, bagaimana caranya mencari fungsi yang memenuhinya??

Integral Taktentu

(Antiturunan) Fungsi F disebut antiturunan dari f pada selang I jika F'(x) = f(x) untuk setiap x anggota di I.

Ilustrasi:

$f(x)=x^{3}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{4}x^{4}$

$f(x)=x^{3}\Rightarrow F(x)=\frac{1}{4}x^{4}+5$

$f(x)=\cos x\Rightarrow F(x)=\sin x$

$f(x)=\cos x\Rightarrow F(x)=\sin x+C$

Contoh Soal 1:

Tunjukan bahwa $F(x)=\frac{1}{3}x^{3}+5x+2$ merupakan antiturunan dari fungsi $f(x)=x^{2}+5$

Pembahasan:

F merupakam antiturunan dari fungsi f jika F'(x) = f(x). Perhatikan, karena

$F'(x)=x^{2}+5=f(x)$

maka F merupakan antiturunan dari f.

Suatu fungsi dapat mempunyai lebih dari satu antiturunan. Dari contoh soal di atas, $G(x)=\frac{1}{3}x^{3}+5x+20$ atau $H(x)=\frac{1}{3}x^{3}+5x-25$ juga merupakan antiturunan dari f.

Jika F antiturunan dari f pada selang I, maka antiturunan dari f yang paling umum adalaj F(x) + C, dengan C merupakan konstanta sembarang.

Contoh Soal 2:

Periksa dengan pendiferensialan bahwa rumus berikut benar:

1. $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\sqrt{x^{2}+1}+C$

2. $\int x\cos x dx=x\sin x+\cos x+C$

Pembahasan:

1. Karena

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}+1}+C \end{pmatrix}=\frac{1}{2}(x^{2}+1^{-1/2})(2x)$

$=\frac{2x}{2(x^{2}+1)^{1/2}}$

$=\frac{x}{(x^{2}+1)^{1/2}}$

Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx=\sqrt{x^{2}+1}+C$

maka pemeriksaan kita telah terbukti.

2. Karena

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x\sin x+\cos x+C)=\sin x+x\cos x-\sin x$

$=x\cos x$

Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

$\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C$

maka pemeriksaan kita telah terbukti.

Beberapa antiturunan fungsi yang sering digunakan diberikan sebagai berikut: ( Dengan k, C adalah konstanta dan F'(x) = f(x), G(x)' = g(x) )

No Fungsi Antiturunan

1 k f(x) kF(c) + C

2 $f(x)\pm g(x)$ $F(x)\pm G(x)$

3 $x^{n},n\neq -1$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

4 sin x - cos x + C

5 cos x sin x + C

6 $\sec ^{2}x$ tan x + C

7 $\csc ^{2}x$ - cot x + C

8 sec x tan x sec x + C

9 csc x cot x - csc x + C

Lambang Antiturunan

Pada turunan kita biasanya menggunakan lambang $D_{x}$ untuk turunan suatu fungsi terhadap x. Dengan semangat yang sama, lambang antiturunan terhadap x dituliskan sebagai $A_{x}$ . Jadi, jika F antiturunan f maka dapat ditulis sebagai:

$A_{x}f(x)=F(x)+C$

Selain menggunakan notasi di atas, notasi yang lebih sering atau umum adalah dengan menggunakan notasi Leibniz yang selanjutnya dikenal sebagai integral taktentu, yaitu jika F anti turunan f maka dapat dituliskan sebagai berikut:

$\int f(x)dx=F(x)+C$

(Integral Taktentu) Misalkan F adalah antiturunan f. Integral taktentu f(x) terhadap x adalah
$\int f(x)dx=F(x)+C$

Catatan:

1. Hasil integral tak tentu berupa suatu fungsi, sedangkan hasil integral tentu berupa suatu bilangan.

2. Integral taktentu adalah lambang lain dari antiturunan

Contoh Soal 3:

Tentukan:

$\int (x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\sin x+e^{x}+2)dx$

Pembahasan:

$\int (x^{2}+2x+\frac{2}{x}+\sin x+e^{x}+2)dx=\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+2\ln |x|-\cos x+e^{x}+2x+C$

Contoh Soal 4:

Tentukan:

$\int (1-t)(2+t^{2})dt$

Pembahasan:

$\int (1-t)(2+t^{2})dt=\int (2+t^{2}-2t-t^{3})dt$

$=2t+\frac{1}{3}t^{3}-t^{2}-\frac{1}{4}t^{4}+C$

Contoh Soal 5:

Tentukan:

$\int (x^{2}+2x+1)\begin{pmatrix} \frac{1}{x} \end{pmatrix}dx$

Pembahasan:

$\int (x^{2}+2x+1)\begin{pmatrix} \frac{1}{x} \end{pmatrix}dx=\int \begin{pmatrix} x+2+\frac{1}{x} \end{pmatrix}dx$

$=\frac{1}{2}x^{2}+2x+\ln |x|+C$

Contoh Soal 6:

Tentukan:

$\int \begin{pmatrix} \frac{3-x^{2}+2\sqrt{x}}{x^{2}} \end{pmatrix}dx$

Pembahasan:

$\int \begin{pmatrix} \frac{3-x^{2}+2\sqrt{x}}{x^{2}} \end{pmatrix}dx=\int \frac{3}{x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{x^{2}}dx+\int \frac{2\sqrt{x}}{x^{2}}dx$

$=\int 3x^{-2}dx-\int 1dx+\int 2x^{-3/2}dx$

$=-3x^{-1}-x+2(-2)x^{-1/2}+C$

$=\frac{-3}{x}-x-4x^{-1/2}+C$

Integral Tentu

Jika suatu integral dihitung pada interval tentu, maka integral tersebut diberi batas pengintegralan dan dinamakan Integral Tentu. Aturan perhitungan integral tentu dan sifat-sifat integral adalah sebagai berikut: