Pembahasan Lengkap Beserta Contoh Soal Turunan Implisit

Persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) disebut persamaan fungsi eksplisit.

Sebagai contohnya yaitu $y=3x^{2}+5x-7;y=x^{2}+\sin x$

Tidak semua fungsi dapat dituliskan dalam bentuk eksplisit. Contohnya seperti berikut ini:

$\cos (x+y)+\sqrt{xy^{2}}-5x=0;y+\cos (xy^{2})+3x^{2}=5y^{2}-6$

Secara umum, fungsi f(x,y) = c, dengan c anggota dari bilangan real disebut persamaan fungsi implisit. Turunan fungsi implisit dilakukan pada fungsi-fungsi implisit tanpa mengubah bentuk fungsi implisit menjadi fungsi eksplisit. Menurunkan fungsi implisit terhadap x dapat dilakukan dengan cara seperti berikut ini:

1. Turunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x.

2. Gunakan aturan rantai

3. Tentukan dy/dx

Aturan rantai adalah sebagai berikut:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

Perhatikan contoh soal berikut ini:

Contoh Soal 1:

Tentukan dy/dx jika:

1. $y=u^{2}$ dan $u=x^{4}$

2. $y=u^{2}$ dan u merupakan fungsi dari x secara implisit.

Pembahasan:

1. Dari aturan rantai diperoleh bahwa:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$=2u(4x^{3})=2(x^{4})(4x^{3})$

2. Dari aturan rantai diperoleh sebagai berikut ini:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

$=2u\frac{du}{dx}$

Jadi, $\frac{d}{dx}(u^{2})$ dengan u fungsi dari x secara implisit adalah $2u\frac{du}{dx}$ .

Contoh Soal 2:

Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:

$x^{2}y-xy^{2}=5$

Pembahasan:

Langkah awal yang perlu dilakukan adalah ruas kanan dan ruas kiri kita turunkan terhadap x seperti berikut ini:

$x^{2}y-xy^{2}=5$

$D_{x}(x^{2}y-xy^{2})=D_{x}(5)$

$D_{x}(x^{2}y)-D_{x}(xy^{2})=D_{x}(5)$

$2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}-(1y^{2}+x2y\frac{dy}{dx})=0$

Setelah diturunkan terhadap x, maka selanjutnya yaitu buat dalam bentuk dy/dx seperti berikut:

$\frac{dy}{dx}(x^{2}-2xy)=y^{2}-2xy$

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^{2}-2xy}{x^{2}-2xy}$

Contoh Soal 3:

Tentukan dy/dx dari persamaan implisit berikut ini:

sin (x - y) = cos y

Pembahasan:

Cara pengerjaannya serupa dengan contoh soal 2. Dengan menurunkan kedua ruas (ruas kanan dan ruas kiri) terhadap x diperoleh sebagai berikut:

sin (x - y) = cos y

$[\cos (x-y)]\begin{pmatrix} 1-\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}=(\sin y)\frac{dy}{dx}$

$\cos (x-y)-\cos (x-y)\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\sin y$

$[-\cos (x-y)-\sin y]\frac{dy}{dx}=-\cos (x-y)$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-\cos (x-y)}{-\cos (x-y)-\sin y}$

$=\frac{\cos (x-y)}{\cos (x-y)+\sin y}$

Contoh Soal 4:

Tentukan persamaan garis singgung kurva $x^{2}y^{2}+4xy=12y$ di titik (2 , 1).

Pembahasan:

Cara pengerjaannya pun masih sama seperti contoh-contoh sebelumnya yaitu dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan tentukan dalam bentuk dy/dx. Karena di soal diperintahkan bahwa tentukan persamaan garis singgung maka setelah menurunkan kedua ruasentukan dalam bentuk dy/dx maka selanjutnya yaitu menentukan kemiringan garis singgung pada titik yang telah di berikan pada soal.

Dengan menurunkan kedua ruas terhadap x dan dalam bentuk dy/dx, maka diperoleh sebagai berikut:

$x^{2}y^{2}+4xy=12y$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{2}y^{2}+4xy)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(12y)$

$2xy^{2}+x^{2}\begin{pmatrix} 2y\frac{dy}{dx} \end{pmatrix}+4y+(4x)\frac{dy}{dx}=12\frac{dy}{dx}$

$(2x^{2}y+4x-12)\frac{dy}{dx}=-2xy^{2}-4y$

$\frac{dy}{dx}=\frac{-2xy^{2}-4y}{2x^{2}y+4x-12}$

Kemiringan garis singgung kurva di titik (2 , 1) diperoleh dengan memasukkan nilai x = 2 dan y = 1 pada persamaan dy/dx. Sehingga diperoleh sebagai berikut:

$m=\frac{-2(2)(1^{2})-4(1)}{2(2^{2})(1)+4(2)-12}=-2$

Jadi persamaan garis singgungnya adalah sebagai berikut:

y - 1 = -2 (x - 2)

y = -2 (x - 2) + 1

y = -2x - 4 + 1

y = -2x - 3

Pembahasan Lengkap Beserta Contoh Soal Turunan Implisit

0 Response to "Pembahasan Lengkap Beserta Contoh Soal Turunan Implisit"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel