Matematika SMP Perpangkatan Bentuk Aljabar Dengan Pola Segitiga Pascal

Untuk menyelesaikan bentuk aljabar

$\begin{displaymath}(a + b)\sp{2}, (a + b)\sp{3}, dan (a + b)\sp{4}\end{displaymath}$

kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar

$\begin{displaymath}(a + b)\sp{5}, (a + b)\sp{6}, (a + b)\sp{7}, (a + b)\sp{n}\end{displaymath}$

Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Lalu bagaimana untuk memudahkan kita dalam penyelesaian bentuk aljabar

$\begin{displaymath} (a + b)\sp{n}\end{displaymath}$

Maka dari itu disini akan di bahas bagaimana untuk penyelesaian

$\begin{displaymath} (a + b)\sp{n}\end{displaymath}$

dengan mudah dan tanpa membutuhkan waktu yang lama. Dalam pembelajaran matematika ada pola yang di sebut dengan Segitiga pascal. Lalu bagaimana Segitiga Pascal tersebut bekerja . mari kita simak penjelasan di bawah ini .
Perhatikan Pola Segitiga Pascal Berikut :

Dari Pola Segitiga pascal di atas dapat di tarik hubungan dengan perpangkatan bentuk aljabar suku dua Sebagai Berikut :
hubungan pola segitiga pascal

Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar

$\begin{displaymath}(a + b)\sp{2}\end{displaymath}$

dapat diuraikan menjadi

$\begin{displaymath} a\sp{2} + 2ab + b \sp{2}\end{displaymath}$

. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar

$\begin{displaymath}(a + b)\sp{2}\end{displaymath}$

mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk

$\begin{displaymath}a\sp{2} + 2ab + b\sp{2}\end{displaymath}$

. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang. Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua

$\begin{displaymath} (a + b)\sp{3}, (a + b)\sp{4}, (a + b)\sp{5}\end{displaymath}$

, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai

berikut:

$\begin{displaymath} (a + b)\sp{3} = a\sp{3} + 3a\sp{2}b + 3ab\sp{2} + b\sp{2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (a + b)\sp{4} = a\sp{4} + 4a\sp{3}b + 6a\sp{2}b\sp{2} + 4ab\sp{3} + b\sp{4}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (a + b)5\sp{2} = a\sp{5} + 5a\sp{4}b + 10a\sp{3}b\sp{2} + 10a\sp{2}b\sp{3} + 5ab\sp{4} + b\sp{5}\end{displaymath}$

dan seterusnya.

Perpangkatan bentuk aljabar

$\begin{display&#109#109;ath}(a - b)\sp{n}\end{displaymath}$

dengan n bilangan asli juga mengikuti

pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya.

Perhatikan Contoh Berikut :

$\begin{displaymath} (a - b)\sp{3} = a\sp{3} - 3a\sp{2}b + 3ab\sp{2} + b\sp{2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (a - b)\sp{4} = a\sp{4} - 4a\sp{3}b + 6a\sp{2}b\sp{2} - 4ab\sp{3} + b\sp{4}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} (a - b)5\sp{2} = a\sp{5}- 5a\sp{4}b + 10a\sp{3}b\sp{2} - 10a\sp{2}b\sp{3} + 5ab\sp{4} - b\sp{5}\end{displaymath}$

Untuk lebih jelasnya mari kita perhatikan Contoh soal beserta pembahasannya di bawah ini :

a.

$\begin{displaymath}(a + 5)\sp{2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(2a + 3)\sp{3}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(a - 2)\sp{4}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(3a - 4)\sp{3}\end{displaymath}$

Penjelasan :
a.

$\begin{displaymath}(a + 5)\sp{2} = ( a + 5 )( a + 5 )\end{displaymath}$

$\begin{displaymath} = a( a + 5 ) + 5 ( a + 5 )\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= a \sp{2} + 5a + 5a + 5\sp{2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=a\sp{2} + 10a + 25\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(2a + 3)\sp{3}= (2a + 3)(2a + 3)(2a + 3)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=(2a)\sp{3}+ 3(2a)\sp{2}(3) + 3 (2a)(3)\sp{2} + (3)\sp{2}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=8a\sp{3}+ 36a\sp{2} + 27\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(a - 2)\sp{4} = (a - 2)(a - 2)(a - 2)(a - 2) \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} = a \sp{4} - 4(a)\sp{3}(2) +6(a)\sp{2} (2)\sp{2} - 4 (a)(2)\sp{3} +(2)\sp{4}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= a\sp{4} -8a\sp{3} +24x\sp{2} - 32a + 16 \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}(3a - 4)\sp{3} = (3a - 4)(3a - 4)(3a - 4)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= (3a)\sp{3} - 3(3x)\sp{2} (4) + 3(3x)(4)\sp{2} - (4)\sp{3}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= 27\sp{3} - 108x\sp{2} + 144x - 64\end{displaymath}$

Matematika SMP Perpangkatan Bentuk Aljabar Dengan Pola Segitiga Pascal

0 Response to "Matematika SMP Perpangkatan Bentuk Aljabar Dengan Pola Segitiga Pascal"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel