Rangkuman Tentang Materi Matematika Sistem Persamaan Linear

Masalah yang dapat diselesaikan dengan teknik aljabar kebanyakan berupa himpunan persamaan dengan beberapa variabel daripada berupa sebuah persamaan dengan satu variabel. Sebuah himpunan persamaan dengan variabel umum disebut Sistem Persamaan. Pada pembahasan kali ini akan dikembangkan teknik untuk menentukan nilai variabel tersebut yang memenuhi sistem persamaan tersebut secara serentak. Untuk membantu menyelesaikan persamaan linear dengan variabel yang jumlahnya besar perlu dipelajari aljabar matriks dan determinan.

Sistem Persamaan

Kita langsung pada contoh sistem persamaan berikut:

Sebuah bensin di Jakarta Selatan menjual dua tipe bensin yaitu premium dengan harga Rp 5000 perliter dan pertamax dengan harga Rp 9000 perliter. Pada akhir hari penjualan, kasir mendapatkan penerimaan berjumlah RP 1720000 dan 280 liter bensin terjual.

Dari contoh soal sederhana diatas maka yang mula-mula dilakukan yaitu:

Misalkan x adalah premium dan y adalah pertamax yang terjual. Sehingga dapat diekspresikan masalah tersebut sebagai masalah sistem persamaan yaitu:

x + y = 280  .......... jumlah bensin yang terjual
5x + 9y =1720 .......... total penerimaan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, kita harus menentukan nilai x dan y sedemikian rupa sehingga memenuhi kedua sistem persamaan diatas. Sehingga akan diperoleh x = 200 dan y = 80, karena:

200 + 80 = 280
5(200) + 9(80) = 1720

Dalam artian 200 liter premium dan 80 liter pertamax yang terjual.

Untuk mendapatkan nilai-nilai x dan y tersebut, kita dapat menggunakan tiga metode diataranya Metode Substitusi dan Metode Eliminasi yang kita kenal secara umum.

Kita akan membahas kedua metode tersebut:

1. Metode Substitusi
Metode substitusi dimulai dengan satu persamaan dari sistem dan menyelesaikan satu variabel dengan bentuk variabel lainnya.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:
1. Selesaikan satu variabel. Pilih satu persamaan dan selesaikan satu variabel dalam bentuk variabel lainnya.Substitusi.
2. Substitusikan pernyataan yang didapat dari langkah kesatu kedalam persamaan lainnya dan selesaikan untuk persamaan tersebut.
3. Substitusi mundur. Substitusi nilai yang didapat dilangkah pertama untuk memecahkan variabel yang tersisa

Contoh 1:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

2x + y = 1
3x + 4y = 14

Jawab:
Selesaikan y untuk persamaan pertama (bisa juga kita memilih x untuk menyelesaikan persamaan pertama) :
Karena kita telah memilih untuk menyelesaikan persamaan y terlebih dahulu, maka kita pilih salah satu persamaan dan pisahkan variabel y dari variabel yang lainnya. Seperti dibawah ini:

Kali ini kita memilih persamaan kedua, sehingga:
y = 1- 2x

Kemudian persamaan tersebut kita substitusikan ke persamaan kedua (persamaan yang tidak kita ubah dalam bentuk y), sehingga:

3x +  4y = 14
3x + 4(1-2x) = 14
3x + 4 - 8x = 14
        4 - 5x = 14
            -5x = 10
               x = -2

Setelah diperoleh nilai x = 2 maka selanjutnya kita substitusikan nilai x pada persamaan y = 1 - 2x, sehingga:
y = 1 - 2(-2) = 5
Dengan demikian kita telah memperoleh nilai x = -2 dan y = 5

Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
x^2 + y^2 = 100
3x -4y = 10

Jawab:
Pertama-tama kita ubah salah satu persamaan dalam bentuk y. Pada kasus ini kita pilih persamaan ke dua biar tidak terlalu ribet, sehingga:
y = 3x - 10
Kemudian kita substitusikan y pada persamaan pertama, sehingga:
x^2 + y^2 = 100
x^2 + (3x -10)^2 =100
x^2 + (9x^2 - 60x + 100) = 100
10x^2 -60x = 0
10x (x-6) = 0
x = 0 atau y = 6

Selanjutnya substitusikan masing-masing nilai x ke persamaan y = 3x - 10
Untuk x = 0, maka: y = 3(0) - 10 = -10
Untuk x = 6, maka: y = 3(6) - 10 = 8
Sehingga kita peroleh dua penyelesaian yaitu, (0, -10) dan (6, 8)

2. Metode Eliminasi
Untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi maka dikombinasikanlah penjumlahan dan pengurangan sedemikian rupa sehingga dapat mengeliminasi salah satu variabelnya.

Langkah-langkahnya:
1. Tentukan variabel yang akan dieliminasi
2. Samakan koefisiennya, kalikan satu atau lebih persamaan dengan angka yang sesuai agar koefisien variabelnya yang akan dieliminasi pada satu persamaan dapat saling me-nolkan.
3. Jumlahkan kedua persamaan agar mengeliminasi satu variabel dan dapat menyelesaikan variabel lainnya.
4. Substitusi mundur. Substutusikanlah nilai yang telah didapat dari langkah ketiga ke persamaan awalnya.

Contoh:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
3x + 2y = 14
x - 2y = 2

Jawab:
Apabila kita perhatikan, koefisien dari persamaan y adalah 2 dan keduanya dapat saling me-nolkan. Sehingga:
3x + 2y = 14
  x - 2y = 2
----------------  +
4x        = 16
  x        = 4

Kemudian substitusi mundur x = 4 pada salah satu persamaan semula sehingga akan diperoleh nilai y. Misalkan yang dipilih adalah persaman ke-2, maka:
x - 2y = 2
4 - 2y = 2
    -2y = -2
       y = 1

Sehingga kita telah peroleh nilai x = 4 dan y = 1

Share this post