Materi Lengkap Tentang Matriks Invers

Definisi dari matriks invers

Suatu matriks segi A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis B = $\mathbf{A}^{-1}$ .
Sehingga dari definisi diatas, tersirat bahwa:

$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$

dengan I adalah matriks identitas.

Sifat-Sifat dari Matriks Invers

1. Invers suatu matriks taksingular adalah tunggal
2. Jika matriks A dan B taksingular, maka:

     a. $(\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}$
     b. $(\mathbf{AB})^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$
     c. $(\mathbf{A}^{T})^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^{T}$

Menentukan Invers Matriks dengan Metode Matriks Adjoin

Teorema berikut ini merupakan salah satu cara untuk menentukan invers suatu matriks.

Teorema (Untuk Menentukan Invers Matriks dengan Matriks Adjoin):
Jika determinan matriks $\mathbf{A}=(a_{ij})_{nxn}$ tidak nol, dan matriks $\mathbf{C}=(a_{ij})_{nxn}$ dengan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$ , maka invers matriks A adalah:

$\mathbf{A}^{-1}= \mathbf{C}^{T}/det(\mathbf{A})$

Matriks $\mathbf{C}^{T}$ disebut matriks adjoin dari matriks A.

Contoh 1:

Tentukan invers matriks dari:

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &-1 \end{pmatrix}$
Jawab:
Apabila kita melihat matriks diatas, berdasarkan sifat determinan maka determinan dari matriks A#0.
Pertama-tama kita mencari nilai dari det(A), maka akan diperoleh det(A) = -2. Kemudian kita cari matriks kofaktor dari matriks A , sehingga akan diperoleh matriks kofaktor seperti berikut.

$\begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \\ -5 &-1 &3 \\ -7 &-1 &5 \end{pmatrix}$

dengan demikian invers matriks A adalah:

$\mathbf{A}^{-1}=1/-2 \begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \\ -5 &-1 &3 \\ -7 &-1 &5 \end{pmatrix}^{T} =1/-2\begin{pmatrix} 3&-5 &-7 \\ 1& -1 & -1\\ -3& 3 & 5& \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3/2 &5/2 & 7/2\\ -1/2&1/2 &1/2 \\ 3/2& -3/2 & -5/2 \end{pmatrix}$

Contoh 2:

Tentukan invers matriks berikut.

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}$

Jawab:
Karena matriks A#0 , selanjutnya kita cari nilai determinan dari matriks A, sehingga diperoleh det(A) = 4 - 6 = -2. Untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin. Matriks adjoin dari matriks A adalah:

$\mathbf{C}^{T}=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}$

dengan demikian invers matriks A adalah
$\mathbf{A}^{-1} =1/-2 \begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 &1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

Contoh 3:

Tentukan invers matriks berikut.

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$

dengan ad-cb # 0.

Jawab:
Perhatikan: det(A) = ad - bc (tidak nol), sehingga untuk menentukan invers matriks A dapat menggunakan Metode Matriks Adjoin.
Kofaktor dari elemen-elemen matrika A adalah

$\alpha _{11}=-1^{2}\begin{vmatrix} d \end{vmatrix}=d ;\alpha _{12}=-1^{3}\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}=-c ;$
$\alpha _{21}=-1^{3}\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}=-b;\alpha _{22}=-1^{4}\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}=a$

sehingga matriks kofaktor dari A adalah

$\mathbf{C}=\begin{pmatrix} d &-c \\ -b &a \end{pmatrix}.$

Matriks adjoin dari matriks A adalah:

$\mathbf{C}^{T}=\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}.$

Dengan demikian invers matriks A adalah

$\mathbf{A}^{-1}=(1/(ad-bc))\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}$

Contoh 4:

Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, bila:

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ -2 &-1 \end{pmatrix};\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 6 &8 \\ 11 &-4 \end{pmatrix}$

Jawab:
Untuk menentukan matriks T dari persamaan TA = B, maka kalikan (dari sebelah kanan) kedua rumus itu dengan matriks $\mathbf{A}^{-1}$ , sehingga diperoleh

$\mathbf{T}\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}$

Karena $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}$ , maka:

$\mathbf{T}\mathbf{I}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1} \rightarrow \mathbf{T}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}$

Karena,

$\mathbf{A}^{-1}=(1/(-3-(-2)))\begin{pmatrix} -1 &-1 \\ 2 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}$

maka

$\mathbf{T}=\begin{pmatrix} 6 &8 \\ 11 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & -18\\ 19&23 \end{pmatrix}$

Materi Lengkap Tentang Matriks Invers

Definisi dari matriks invers

Sifat-Sifat dari Matriks Invers

Menentukan Invers Matriks dengan Metode Matriks Adjoin

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

Contoh 4:

0 Response to "Materi Lengkap Tentang Matriks Invers"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel